不定积分--有理函数的积分

套路一 有理函数的积分 ($\int \frac{多项式}{多项式}dx)$

(一)有理函数积分的通项方法——裂项$ \ $+$ \ $待定系数

$ \ \ $有理函数从宏观上可分为真分式（分母为最高次项）和假分式（分子为最高次项），而任意一个假分式都可以通过多项式除法变成多项式与真分式之和。由于多项式的积分是简单的，所以解决有理函数函数的积分。本质上就变成了解决有理真分式的积分。而对于真分式的积分，我们有如下固定套路——

1. 将该真分式的分母进行因式分解（一直分解到无法再分解为止）

2. 然后进行裂项，裂项的原则如下——

   • ①只需分母中含有$(x \ - \ a)^{k}$，则裂项后的式子中一定含有$\frac{A_1}{x \ - \ a} \ + \ \frac{A_2}{(x \ - \ a)^2} \ + \ … \ + \frac{A_k}{(x \ - \ a)^{k}}$
   • ②只需要分母中含有$(x^2 \ + \ px \ + \ q)^k$（注：因为已经分解到"不能再分解"了，所以这里的$p^2 \ - 4q \ < \ 0$），则裂项后的式子中一定含有$\frac{B_1x \ + \ C_1}{x^2 \ + \ px \ + \ q} \ + \ \frac{B_2x \ + \ C_2}{(x^2 \ + \ px \ + \ q)^2} \ + \ … \ + \ \frac{B_kx \ + \ C_k}{(x^2 \ + \ px \ + \ q)^k}$

3. 将裂项以后得到的所有项进行通分，根据"通分后的分子与原被积函数的分子应该相等"的原则，列出待定系数所满足的方程，解出待定系数。这样就将真分式分解成了各个基本公式了

4. 对于①中所得到的一些列基本分式$\frac{A}{(x \ - \ a)^k}$，它们的积分十分容易；

   对于②中所得到的一些列基本分式$\frac{Bx \ + \ C}{(x^2 \ + \ px \ + \ q)^k}$，其积分稍微复杂一点，但其实，所有形如$\frac{Bx \ + \ C}{(x^2 \ + \ px \ + \ q)^k}$ 和 $\int \frac{Bx \ + \ C}{(x^2 \ + \ px \ + \ q)^k}dx$的计算学会即可！

我们在下面的例题1和例题2中，会详细的介绍这两个积分的计算方法。至此，整个有理函数的积分，就找到了一个完善的解决方法。

总之，通过裂项，最终会归结于计算$\int \frac{A}{(x \ - \ a)^k}dx$，$\int \frac{Bx \ + \ C}{x^2 \ + \ px \ + \ q}dx$和$\int \frac{Bx \ + \ c}{(x^2 \ + \ px \ + \ q)^2}dx$三类积分。

例1：

$\int \frac{x \ + \ 3}{x^2 \ + \ 2x \ + \ 4}dx$

$$I \ = \ \int \frac{\frac{1}{2} (2x \ + \ 2) \ + \ 2}{x^2 \ + \ 2x \ + 4}$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{2x \ + \ 2}{x^2 \ + \ 2x \ + 4}dx \ + \ 2\int\frac{1}{x^2 \ + \ 2x \ + \ 4} $$

$$( \ \frac{f\prime}{f}dx \ = \ ln|f| \ + \ C)$$

$$= \ \frac{1}{2}\ln(x^2 \ + \ 2x \ + 4) \ + \ 2\int\frac{1}{(x \ + \ 1)^2 \ + \ 3}dx$$

$$ (\ \int\frac{1}{a^2 \ + \ x^2}dx \ = \ \frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} \ + \ C)$$

$$= \ \frac{1}{2}\ln(x^2 \ + \ 2x \ + 4) \ + \ 2\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{x \ + \ 1}{\sqrt{3}}} \ + \ C$$

[注]通过该题，可以总结出一切$\frac{Bx \ + \ C}{x^2 \ + \ px \ + q}$的积分，其套路为"改造分子，拆分为两个积分，其中第一个积分直接凑微分，第二个积分配方后套公式即可！"

例2：

$\frac{x^2}{(a^2 \ + \ x^2)^2}dx \ (a \ > \ 0)$

[方法一]：三角换元，令$x \ = \ a\tan{t}, \ dx \ = \ a\sec^2{t}dt, \ t \ = \ \arctan{\frac{x}{a}}$

[解]：

$$I \ =\ \frac{a^2\tan^2{t}}{a^4 \sec^4{t}}a\sec^2{t}dt$$

$$= \ \frac{1}{a}\int\frac{tan^2t}{sec^2t}$$

$$= \ \frac{1}{a}\int\sin^2{t}dt$$

$$= \ \frac{1}{a}\frac{1 \ - \ \cos{2t}}{2}dt$$

$$= \ \frac{1}{2a}[\int dt \ - \ \int cos{2t}dt]$$

$$= \ \frac{1}{2a}[t \ - \ \frac{1}{2}sin{2t}] \ + \ C$$

$$= \ \frac{1}{2a}[t \ - \ \sin{t}\cos{t}]$$

画一个三角形出来

    |\
    | \ 
  x |  \ sqrt(x*x + a*a)
    |   \
    |____\ (角度t)
      a
tant = x / a
sint = x / sqrt(x*x + a*a)
cost = a / sqrt(x*x + a*a)
t = arctan(x / a)

$$= \ \frac{1}{2a}[\arctan{\frac{x}{a}} \ - \ \frac{x}{\sqrt{x^2 \ + \ a^2}}\frac{a}{\sqrt{x^2 \ + \ a^2}}] \ + \ C$$

$$= \ \frac{1}{2a}\arctan{\frac{x}{a}} \ - \ \frac{1}{2}\frac{x}{x^2 \ + \ a^2} \ + \ C$$

[方法二]：分母次数太高，可以使用分部积分来降低分母的次数（☆☆☆）

[解]：

$$I \ = \ \int\frac{x \ * \ x}{(a^2 \ + \ x^2)^2}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\int x \frac{1}{(a^2 \ + \ x^2)^2}d(a^2 \ + \ x^2)$$

$$= \ -\frac{1}{2}\int xd{\frac{1}{x^2 \ + \ a^2}}$$

$$分部\Rightarrow -\frac{1}{2}x\frac{1}{a^2 \ + \ x^2} \ + \ \frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2 \ + \ a^2}dx$$

$$= \ -\frac{1}{2}\frac{x}{x^2 \ + \ a^2} \ + \ \frac{1}{2}\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}} \ + \ C$$

类题1

$\int \frac{1}{(a^2 \ + \ x^2)^2}dx$

[解]：

$$I \ = \ \int\frac{1}{(a^2 \ + \ x^2)^2}dx$$

$$ = \ \frac{1}{a^2}\int\frac{(a^2 \ + \ x^2) \ - \ x^2}{(a^2 \ + \ x^2)^2}dx$$

$$= \ \frac{1}{a^2}\int\frac{1}{(a^2 \ + \ x^2)}dx \ - \ \frac{1}{a^2}\int\frac{x^2}{(a^2 \ + \ x^2)^2}dx$$

$$从而将本题归结于上一道题！$$

[注]:

通过以上两题，可以推出所有$\int\frac{Bx \ + \ C}{(x^2 \ + \ px \ + q)^2}dx$的积分的计算方法，其套路总结为——"改造分子，拆分为两个积分 ==> 对分母配方，换元 ==> 归结计算$\int\frac{1}{(a^2 \ + \ t^2)}dt$"。比如下面这道题——

类题2

$\int\frac{x \ + \ 2}{(x^2 \ + \ 2x \ + \ 10)^2}$

[解]：

分析：由于分母求导后的$2x \ + \ 2$，所以我们尽量把分子凑成差不多的样子。

$$I \ = \ \int\frac{\frac{1}{2}(2x+2) + 1}{(x^2 + 2x + 10)^2}$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{2x + 2}{(x^2 + 2x + 10)^2}dx + \int\frac{1}{(x^2 + 2x + 10)^2}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{1}{(x^2 + 2x + 10)^2}d(x^2 + 2x + 10) + \int\frac{1}{[(x + 1)^2 + 3^2]^2}d(x + 1)$$

$$= \ -\frac{1}{2}\frac{1}{x^2 + 2x + 10} + \frac{1}{3}\arctan\frac{(x + 1)}{3}$$

总结：

至此$\int\frac{A}{(x \ - \ a)^k}dx, \ \int\frac{Bx \ + \ C}{x^2 \ + \ px \ + \ q}dx, \ \int\frac{Bx \ + \ C}{(x^2 \ + \ px \ + \ q)^2}dx$这三类基本分式的积分我们都已学会，铺垫大功告成，所以对于一切有理函数的积分，我们就找到了完整的解题套路。

下面看几道经典的例题——

例3

$\int\frac{3x \ + \ 6}{(x \ - \ 1)^2(x^2 \ + \ x \ + 1)}dx \ \ (2019,10分)$

[解]：

$$\frac{3x + 6}{(x - 1)^2(x^2 + x + 1)}$$

$$= \ \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + x + 1} \ \ (由前面的知识可以拆分为这样的式子)$$

$$= \ \frac{A(x - 1)(x^2 + x + 1) + B(x^2 + x + 1) + (Cx + D)(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x^2 + x + 1)}$$

$$= \ \frac{A(x^3 - 1) + B(x^2 + x + 1) + (Cx + D)(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x^2 + x + 1)}$$

$$由于待定系数必须相等$$

$
\left\{
\begin{matrix}
A + C = & 0 \\
B + C(-2) + D = & 0 \\
B + C = & 3 \\
-A + B + D = & 6 \\
\end{matrix}
\right.
$

$$解得$$

$
\left\{
\begin{matrix}
A = & -2 \\
B = & 3 \\
C = & 2 \\
D = & 1 \\
\end{matrix}
\right.
$

$$I \ = \ (-2)\int\frac{1}{x - 1}dx + 3\int\frac{1}{(x - 1)^2}dx + \int\frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}dx$$

$$= \ -2\ln{|x - 1|} - 3\frac{1}{x - 1} + \ln{|x^2 + x + 1|} + C$$

例4

$\int\frac{1}{1 + x^3}dx$

$$I \ = \ \int\frac{1}{(1 + x)(1 - x + x^2)}dx$$

$$= \ \int(\frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{1 - x + x^2})dx$$

$$= \ \int[\frac{A(1 - x + x^2) + (Bx + C)(x + 1)}{(1 + x)(1 - x + x^2)}]dx$$

$
\left\{
\begin{matrix}
A + B = & 0 \\
-A + B + C = & 0 \\
A + C = & 1 \\
\end{matrix}
\right.
$

$$解得$$

$
\left\{
\begin{matrix}
A = & \frac{1}{3} \\
B = & -\frac{1}{3} \\
C = & \frac{2}{3} \\
\end{matrix}
\right.
$

$$= \ \int(\frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{x^2 - x + 1})dx$$

$$= \ -\frac{1}{3}\ln{(x + 1)} - \frac{1}{6}\int\frac{2x - 1 - 3}{x^2 - x + 1}dx$$

$$= \ -\frac{1}{3}\ln{(x + 1)} - \frac{1}{6}\int(\frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} + \frac{3}{x^2 - x + 1})dx$$

$$= \ -\frac{1}{3}\ln{(x + 1)} - \frac{1}{6}[\int\frac{1}{x^2 - x + 1}d(x^2 - x + 1) + 3\int\frac{1}{x^2 - x + 1}dx]$$

$$= \ -\frac{1}{3}\ln{(x + 1)} - \frac{1}{6}\ln|{x^2 - x + 1}| + \frac{1}{2}\int\frac{1}{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}dx$$

$$= \ -\frac{1}{3}\ln{(x + 1)} - \frac{1}{6}\ln|{x^2 - x + 1}| + \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\arctan{\frac{x - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}}$$

$$= \ -\frac{1}{3}\ln{(x + 1)} - \frac{1}{6}\ln|{x^2 - x + 1}| + \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}} + C$$

例5

若不定积分$\int\frac{x^2 + ax + 2}{(x + a)(x^2 + 2)}dx$的结果中不含反正切函数，求a

解：

$$\frac{x^2 + ax + 2}{(x + 1)(x ^2 + 1)} $$

$$= \ \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$$

$$= \ \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx}{x^2 + 1} + \frac{C}{x^2 + 1}$$

$$由于不含反正切函数，故\frac{C}{x^2 + 1}中的系数C为0$$

有理函数积分的特殊解法

虽然从理论上而言，一切有理函数的积分都可以用上面的待定系数法去硬刚，但是，通法不一定是最优解法，对于某些题目，采用待定系数法的话，计算量大。

很多有理函数有着自己的独特解法，这些解法不能一概而论，需要我们仔细分析被积函数的结构，具体问题具体分析。一下是几道抛砖引玉的例子——

例1

$求解： \int\frac{1}{1 - x^4}dx$

解法一：普通解法

$$I = \ \int\frac{1}{(1 - x^2)(1 + x^2)}dx $$

$$= \ \int\frac{1}{(1 - x)(1 + x)(1 + x^2)}dx$$

$$= \ \int(\frac{A}{1 - x} + \frac{B}{1 + x} + \frac{Cx + D}{1 + x^2})$$

$$…$$

$$那么这样我说你就做的慢了$$

解法二：特殊解法

$$I = \ \frac{1}{2}\int\frac{2}{(1 - x^2)(1 + x^2)}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{(1 - x^2) + (1 + x^2)}{(1 - x^2)(1 + x^2)}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\int(\frac{1}{(1 + x^2)} + \frac{1}{(1 - x^2)})dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\arctan{x} - \frac{1}{2}\int\frac{1}{x^2 - 1}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\arctan{x} - \frac{1}{2}\int\frac{1}{(x - 1)(x + 1)}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\arctan{x} - \frac{1}{2}\frac{1}{2}\ln|\frac{x - 1}{x + 1}|$$

类题1

$\int\frac{1}{x^8(1 + x^2)}dx$

[方法一] 根据分母改造分子

$$I = \ \int\frac{1}{x^8(1 + x^2)}dx$$

$$= \ \int\frac{(1 + x^2) - x^2}{x^8(1 + x^2)}$$

$$ = \ \int\frac{1}{x^8}dx - \int\frac{1}{x^6(1 + x^2)}dx$$

$$= \int\frac{1}{x^8}dx - \int\frac{1}{x^6}dx + \frac{1}{x^4(1 + x^2)}dx$$

$$…(做相同处理即可得到答案)$$

[方法二] 倒代换

$$令x = \frac{1}{t}，dx = (-\frac{1}{t^2}dt)$$

$$则I = \ \int\frac{1}{x^8(1 + x^2)}dx$$

$$= \ \int\frac{t^{10}}{1 + t^2} * -\frac{1}{t^2}dt$$

$$= \ -\int\frac{t^8 - 1 + 1}{1 + t^2}dt$$

$$= \ -\int\frac{(t^4 + 1)(t^2 + 1)(t^2 - 1) + 1}{1 + t^2}dt$$

$$= \ -\int(t^4 + 1)(t^2 + 1)dt - \int\frac{1}{1 + t^2}dt$$

$$一个是幂函数，一个是反正切函数解出即可$$

**[注]：**倒代换一般适用于分母的次数远高于分子的次数的时候

类题2

$\int\frac{1 + x^4}{1 + x^6}dx \ \ \ \ (最后一步就离谱！！)$

$$I = \ \int\frac{1 + x^4 - x^2 + x^2}{(1 + x^2)(1 - x^2 + x^4)}dx$$

$$= \ \int(\frac{1}{(1 + x^2)} + \frac{x^2}{(1 + x^2)(1 - x^2 + x^4)})dx$$

$$= \ \arctan{x} + \int\frac{x^2}{(1 + x^2)(1 - x^2 + x^4)}dx$$

$$= \ \arctan{x} + \int\frac{x^2}{1 + x^6}dx$$

$$= \ \arctan{x} + \frac{1}{3}\int\frac{1}{1 + x^6}dx^3$$

$$= \ \arctan{x} + \frac{1}{3}arctan{x^3} + C$$

类题3

$\int\frac{1}{x(x^3 + 27)}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{x^2}{x^3(x^3 + 27)}dx$$

$$= \ \frac{1}{3}\int\frac{1}{x^3(x^3 + 27)}dx^3$$

$$= \ \frac{1}{3}\frac{1}{27}\int(\frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^3 + 27})dx^3$$

$$= \ \frac{1}{81}\ln|\frac{x^3}{x^3 + 27}| + C$$

例2

$\int\frac{1 + x^2}{1 + x^4}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 + \frac{1}{x^2}}dx$$

$$= \ \int\frac{1}{x^ + \frac{1}{x^2}}d(x - \frac{1}{x})$$

$$= \ \int\frac{1}{(x - \frac{1}{x})^2 + 2}d(x - \frac{1}{x})$$

$$= \ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{\frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{2}}} + C$$

[注1]

通过本题的启发，我们可以解决一切形如$\int\frac{1 \pm x^2}{1 + kx^2 + x^4}dx$的题目

[注2]

本题也可以对分母强行因式分解，然后用常规的待定系数法进行裂项——

$1 + x^4 = (1 + x^2)^2 - 2x^2 = (1 + x^2 - \sqrt{2})(1 + x^2 + \sqrt{2})$

$故 \ \frac{1 + x^2}{1 + x^4} = \frac{Ax + B}{1 + x^2 - \sqrt{2}x} + \frac{Cx + D}{1 + x^2 + \sqrt{2}x} …$计算量巨大

类题1

$\int\frac{1 - x^2}{1 + x^4}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{\frac{1}{x^2} - 1}{x^2 + \frac{1}{x^2}}dx$$

$$= \ -\int\frac{1}{x^2 + \frac{1}{x^2}}d(\frac{1}{x} + x)$$

$$= \ -\frac{1}{(x + \frac{1}{x})^2 - 2}d(\frac{1}{x} + x)$$

$$= \ -\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln|{\frac{x + \frac{1}{x} - \sqrt{2}}{x + \frac{1}{x} + \sqrt{2}}}| + C$$

$$= \ -\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln|{\frac{x^2 + 1 - \sqrt{2}x}{x^2 + 1 + \sqrt{2}x}}| + C$$

[注]

利用以上两题，可以求出积分$\int\frac{1}{1 + x^4}dx = \frac{1}{2}\int\frac{1 + x^2}{1 + x^4}dx + \int\frac{1 - x^2}{1 + x^4}dx = …$

至此可以解决的题型：$\int\frac{1 \pm x^2}{1 + kx^2 + x^4}dx$

类题2

$\int\frac{1}{1 + x^6}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{1}{(1 + x^2)(1 - x^2 + x^4)}dx$$

$$= \ \int\frac{(1 + x^2) - x^2}{(1 + x^2)(1 - x^2 + x^4)}dx$$

$$= \ \int\frac{1}{(1 - x^2 + x^4)}dx - \int\frac{x^2}{(1 + x^2)(1 - x^2 + x^4)}$$

$$= \ \int\frac{1}{(1 - x^2 + x^4)}dx - \int\frac{x^2}{1 + x^6}dx \ \ (将第二个式子中的分母变回去，积累出的经验)$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{(1 + x^2) + (1 - x^2)}{(1 - x^2 + x^4)}dx - \frac{1}{3}\int\frac{1}{1 + x^6}d{x^3}$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{(1 + x^2)}{(1 - x^2 + x^4)}dx + \frac{1}{2}\int\frac{(1 - x^2)}{(1 - x^2 + x^4)}dx - \frac{1}{3}\int\frac{1}{1 + (x^3)^2}d{x^3}$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{(\frac{1}{x^2} + 1)}{(\frac{1}{x^2} - 1 + x^2)}dx + \frac{1}{2}\int\frac{(\frac{1}{x^2} - 1)}{(\frac{1}{x^2} - 1 + x^2)}dx - \frac{1}{3}\arctan{x^3}$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{1}{(\frac{1}{x^2} - 1 + x^2)}d{(x - \frac{1}{x})} - \frac{1}{2}\int\frac{1}{(\frac{1}{x^2} - 1 + x^2)}d{(\frac{1}{x} + 1)} - \frac{1}{3}\arctan{x^3}$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{1}{(x - \frac{1}{x})^2 + 1}d{(x - \frac{1}{x})} - \frac{1}{2}\int\frac{1}{((x + \frac{1}{x})^2 - 3}d{(x + \frac{1}{x})} - \frac{1}{3}\arctan{x^3}$$

$$= \ \frac{1}{2}\arctan{(x - \frac{1}{x})} -\frac{1}{2}\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln|{\frac{x + \frac{1}{x} - \sqrt{3}}{x + \frac{1}{x} + \sqrt{3}}}| - \frac{1}{3}\arctan{x^3} + C$$

例3

$\int\frac{e^{3x} + e^x}{e^{4x} - e^{2x} + 1}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{e^{2x} + 1}{e^{4x} - e^{2x} + 1}de^x$$

$$令t = e^x\Longrightarrow \int\frac{t^2 + 1}{t^4 - t^2 + 1}dt$$

$$= \ \int\frac{1 + \frac{1}{t^2}}{t^2 - 1 + \frac{1}{t^2}}dt$$

$$= \ \int\frac{1}{(t - \frac{1}{t})^2 + 1}d(t - \frac{1}{t})$$

$$= \ \arctan{(t - \frac{1}{t})}$$

$$= \ \arctan(e^x - e^{-x})$$

例4

$\int\frac{1}{\sqrt{\tan{x}}}dx$

换元法是用来打开局面的！

[解]：

$$凑微分，分部积分法都不好做，考虑换元法$$

$$令 \sqrt{tanx} = t \Longrightarrow x = \arctan{t^2} \Longrightarrow dx = \frac{2t}{1 + (t^2)^2}dt = \frac{2t}{1 + t^4}dt(复合求导法则)$$

$$代入得I = \int\frac{1}{t}\frac{2t}{1 + t^4}dt$$

$$= \ \int\frac{2}{1 + t^4}dt$$

$$= \ \int\frac{(1 + t^2) + (1 - t^2)}{1 + t^4}$$

$$= \ …$$

例5

$\int\sqrt{\tan{x}}dx$

[解]：

$$令 \sqrt{tanx} = t \Longrightarrow x = \arctan{t^2} \Longrightarrow dx = \frac{2t}{1 + (t^2)^2}dt = \frac{2t}{1 + t^4}dt(复合求导法则)$$

$$I = \int{t}\frac{2t}{1 + t^4}dt$$

$$= \ \int\frac{2t^2}{1 + t^4}dt$$

$$= \ \int\frac{(t^2 + 1) + (t^2 - 1)}{1 + t^4}dt$$

$$…$$

完结撒花❀❀❀