套路二 三角有理函数的积分

引言

以$R(u,v)$表示由$u,v$及常数经过有限次的四则运算得到的二次函数。而$R(\sin{x}, \cos{x})$则称为三角有理函数，比如$y = \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \ \ \ y = \frac{1}{1 + \cos{x}} \ \ \ y = \frac{1}{(\sin{x} + \cos{x})^2}$这些都属于三角有理函数。

而一切的三角有理函数，都可以用过换元$\tan{\frac{x}{2}} = t(万能公式)$化为有理函数，而有理函数的积分，在套路一中已经解决过了，所以，“从理论上来说”，一切的三角有理函数的积分，其实也已经解决了。

但是！万能的方法，不一定是最好的方法。很多三角有理函数的积分，如果盲目的使用万能公式，$\tan{\frac{x}{2}} = t$，则计算量会特别大，所以我们需要具体问题具体分析，找到每一个题目的特殊解法！

(一) 万能公式换元法，令$\tan{\frac{x}{2}} = t$

对于$\int R(\sin{x}, \cos{x})dx$，只需令$\tan{\frac{x}{2}} = t$，可以反解出$x = 2\arctan{t}$，故$dx = \frac{2}{1 + t^2}dt$，且

$\sin{x} = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{1} = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{\sin^2{\frac{x}{2}} + \cos^2{\frac{x}{2}}} 同时除\cos^2{\frac{x}{2}} \Rightarrow \frac{2t}{t^2 + 1};$

$\cos{x} = \frac{\cos^2{\frac{x}{2}}{2} - \sin^2{\frac{x}{2}}}{1} = \frac{\cos^2{\frac{x}{2}}{2} - \sin^2{\frac{x}{2}}}{\sin^2{\frac{x}{2}} + \cos^2{\frac{x}{2}}} 同时除\cos^2{\frac{x}{2}} \Rightarrow \frac{1 - t^2}{1 + t^2};$

代入可得，原积分$= \int{R(\frac{2t}{1 + t^2},\frac{1 - t^2}{1 + t^2})}\frac{1}{1 + t^2}dt$。成功化为了一个关于t的有理函数积分，积出来以后，再将$t = \tan{\frac{x}{2}}$回代即可。

例1

$\int\frac{1}{3 +5\cos{x}}dx$

[解]：

$$令\tan{\frac{x}{2}} = t \Rightarrow x = 2\arctan{t}，dx = \frac{2}{1 + t^2}dt，且\cos{x} = \frac{\cos^2{\frac{x}{2} - \sin{\frac{x}{2}}}}{\cos^2{\frac{x}{2} + \sin{\frac{x}{2}}}} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$

$$I = \int\frac{1}{3 + 5\frac{1 - t^2}{1 + t^2}}\frac{2}{1 + t^2}dt$$

$$= \ \int\frac{2}{3 + 3t^2 + 5 - 5t^2}dt$$

$$= \ \int\frac{1}{4 - t^2}dt$$

$$ = \ \int\frac{1}{(2 - t)(2 +t)}dt$$

$$= \ \frac{1}{4}\ln|\frac{t + 2}{t - 2}| + C$$

$$= \ \frac{1}{4}\ln|\frac{\tan{\frac{x}{2}} + 2}{\tan{\frac{x}{2} - 2}}| + C$$

例2

$\int\frac{1}{1 + \sin{x} + \cos{x}}dx$

[解]：

$$令\tan{\frac{x}{2}} = t \Rightarrow x = 2\arctan{t}，dx = \frac{2}{1 + t^2}dt，\cos{x} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}，\sin{x} = \frac{2t}{1 + t^2}$$

$$I = \int\frac{1}{1 + \frac{2t}{1+ t^2} + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}\frac{2}{1 + t^2}dt$$

$$= \ \int\frac{2}{1 + t^2 + 2t + 1 - t^2}dt$$

$$= \ \int\frac{1}{1 + t}dt$$

$$= \ \ln|{1 + t}| + C$$

$$= \ \ln|{1 + \tan{\frac{x}{2}}}| + C$$

[注]

对于三角函数的积分，如果被积函数中$\sin{x}和\cos{x}$的次方太高，真不建议使用万能公式$\tan{\frac{x}{2}} = t$，因为你将会得到一个次方更高的有理函数积分。

所以，三角有理函数积分的传统解法点到为止，下面将特殊解法。

(二) 三角有理函数积分的特殊解法

灵活使用三角函数的各种恒等变形和凑微分技巧，已达到快速求解的目的。以下是几个最常用，最好用的套路。

(1) 擅于使用"缩分母"技巧

对于分母为$1 + \cos{x}$或$1 + \sin{x}$的积分，我们可以分子分母同时乘以共轭表达式（$1 + 2i \iff 1 - 2i$），使分母从两项变为一项，达到"缩分母"的效果。

因为，对于一个不定积分而言，我们宁愿分子有很多项，也不远分母有很多项，毕竟，就算分子项数再多，我们也能拆成若干个小积分之和，分别计算再相加；而如果分母项数太多，就很难处理。

当然，利用二倍角公式，$1 + \cos{x} = 2\cos^2{\frac{x}{2}}$也能将分母合二为一。

例3

$\int\frac{1}{1 + \cos{x}}dx$

[方法一]：同乘共轭表达式

$$\Longrightarrow \int\frac{1 - \cos{x}}{\sin^2{x}}dx$$

$$= \ \int\csc^2{x}dx - \int\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}dx$$

$$= \ -\cot{x} - \int\frac{1}{\sin^2{x}}d\sin{x}$$

$$= \ -cot{x} + \frac{1}{\sin{x}} + C$$

$$(注：\int\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}dx = \int\cot{x}\csc{x}dx = -\csc{x} + C)$$

[方法二]：二倍角公式

$$\Longrightarrow \int\frac{1}{2\cos^2{\frac{x}{2}}}dx $$

$$= \ \frac{1}{cos^2{\frac{x}{2}}}d{(\frac{x}{2})}$$

$$ = \ \sec^2{\frac{x}{2}}d{(\frac{x}{2})}$$

$$ = \ \tan{\frac{x}{2}} + C$$

关于结果

用不同的两种方法算出来的答案，长得不一样很正常，三角函数转化方式太多了

类题1

$\int\frac{\sin{x}}{1 + \sin{x}}dx$

[方法一]

$$I = \int\frac{\sin{x} + 1 - 1}{1 + \sin{x}}dx$$

$$= \ \int1dx - \int\frac{1}{1 + \sin{x}}dx$$

$$= \ x - \int\frac{1}{1 + \cos{(\frac{π}{2} - x)}}dx(利用化归的思想)$$

$$= \ x - \tan{(\frac{x}{2} - \frac{π}{4})} + C$$

[方法二]

$$I = \int\frac{\sin{x}(1 - \sin{x})}{\cos^2{x}}dx$$

$$= \ \int\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}dx - \int\tan^2{x}dx $$

$$= \ -\frac{1}{\cos^2{x}}d(\cos{x}) - \int(sec^2{x} - 1)dx $$

$$= \ \frac{1}{\cos{x}} - tan{x} + x + C$$

类题2

$\int\frac{1}{\sin{x} + \cos{x}}dx$

辅助角公式：

$
\left\{
\begin{matrix}
\sin{x} + \cos{x} = & \sqrt{2}\sin(x + \frac{π}{4}) \\
\sin{x} - \cos{x} = & \sqrt{2}\sin(x - \frac{π}{4}) \\
\end{matrix}
\right.
$

[解]：

$$I = \int\frac{1}{\sqrt{2}\sin({x} + \frac{π}{4})}dx(辅助角公式)$$

$$ = \ \frac{1}{\sqrt{2}}{\csc(x + \frac{π}{4})}dx$$

$$= \ \frac{1}{\sqrt{2}}\ln|\cot(x + \frac{π}{4}) - csc(x + \frac{π}{4}))| + C$$

类题3

$\int\frac{\cos{x}}{\sin{x} + \cos{x}}dx$

$
\left\{
\begin{matrix}
\cos^2{x} = & \frac{1 + \cos{2x}}{2} \\
\sin{x}\cos{x} = & \frac{1}{2}\sin{2x} \\
\end{matrix}
\right.
$

[解]：

$$I = \int\frac{\cos{x}(\cos{x} - \sin{x})}{\cos^2{x} - \sin^2{x}}$$

$$= \ \int\frac{\cos^2{x} - \cos{x}\sin{x}}{cos{2x}}dx$$

$$= \ \int\frac{\frac{1 + \cos{2x}}{2} - \frac{1}{2}\sin{2x}}{cos{2x}}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{1 + \cos{2}x - \sin{2x}}{\cos{2x}}dx$$

$$= \ \frac{1}{4}\int\sec{(2x)}d{(2x)} + \frac{1}{2}\int1dx - \frac{1}{4}\tan{(2x)}d{(2x)}$$

$$= \ -\frac{1}{4}\ln|\sec{2x} + \tan{2x}| + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\ln|\cos{2x}| + C$$

(2) 若$R(\sin{x}，-\cos{x}) = -R(\sin{x}，\cos{x})$

想办法将$\cos{x}$凑到$d$后面，形成$d\sin{x}$，然后将$\sin{x}$看成整体，令为$t$，则该积分化为关于$t$的有理函数积分。

例4

$\int\frac{1}{sin^2{x}\cos{x}}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}\cos^2{x}}dx$$

$$= \ \int\frac{1}{\sin^2{x}\cos^2{x}}d{\sin{x}}$$

$$= \ \int\frac{1}{\sin^2{x}(1 - \sin^2{x})}d{\sin{x}}$$

$$令t = \sin{x} \Rightarrow \ \int\frac{1}{t^2(1 - t^2)}d{t}$$

$$= \ \int\frac{1}{t^2}dx + \int\frac{1}{1 - t^2}dt$$

$$= \ -\frac{1}{t} + \frac{1}{2}\ln|\frac{a + t}{a - t}| + C$$

$$= \ -\frac{1}{\sin{x}} + \frac{1}{2}\ln|\frac{a + \sin{x}}{a - \sin{x}}| + C$$

例5

$\int\frac{\cos^3{x} - 2\cos{x}}{1 + \sin^2{x} + \sin^4{x}}dx$

$$I = \int\frac{\cos^2{x} - 2}{1 + \sin^2{x} + \sin^4{x}}d\sin{x}$$

$$= \ -\int\frac{\sin^2{x} + 1}{1 + \sin^2{x} + \sin^4{x}}d\sin{x}$$

$$令t = \sin{x} \Rightarrow -\int\frac{t^2 + 1}{1 + t^2 + t^4}dt$$

$$= \ -\int\frac{1 + \frac{1}{t^2}}{\frac{1}{t^2} + 1 + t^2}dt$$

$$= \ -\int\frac{1}{(t - \frac{1}{t})^2 + 3}d(t - \frac{1}{t})$$

$$= \ -\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{t - \frac{1}{t}}{\sqrt{3}}}$$

$$= \ -\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{\sin{x} - \frac{1}{\sin{x}}}{\sqrt{3}}} + C$$

例6

$\int\sec^3{x}dx(☆☆☆)$

[方法一]：

$$I = \int\frac{1}{\cos^3{x}}dx$$

$$= \ \int\frac{\cos{x}}{\cos^4{x}}dx$$

$$= \ \int\frac{1}{\cos^4{x}}d\sin{x}$$

$$= \ \int\frac{1}{(1 - \sin^2{x})^2}dx$$

$$令t = \sin{x} \Rightarrow \ \int[\frac{1}{(1 - t)(1 + t)}]^2dx$$

$$= \ \int[\frac{1}{(t - 1)(t + 1)}]^2dx$$

$$= \ \int[\frac{1}{2}(\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1})]^2$$

$$= \ \frac{1}{4}\int[\frac{1}{(t - 1)^2} - \frac{2}{t^2 - 1} + \frac{1}{(t + 1)^2}]dt$$

$$= \ \frac{1}{4}(-\frac{1}{t - 1} - 2\frac{1}{2}\ln|\frac{t - 1}{t + 1}| -\frac{1}{t + 1}) + C$$

$$= \ -\frac{1}{4}(\frac{1}{\sin{x} - 1} + \ln{\frac{\sin{x} - 1}{\sin{x} + 1}} + \frac{1}{\sin{x} + 1}) + C$$

[方法二]：“分部积分 + 积分重现”

$$I = \sec{x}d\tan{x}$$

$$= \ \sec{x}\tan{x} - \tan{x}d\sec{x}$$

$$= \ \sec{x}\tan{x} - \tan^2{x}\sec{x}dx$$

$$= \ \sec{x}\tan{x} - (\sec^2{x} - 1)\sec{x}dx$$

$$= \ \sec{x}\tan{x} - \sec^3{x}dx + \sec{x}dx$$

$$= \ \sec{x}\tan{x} - I + \ln|\sec{x} + \tan{x}| + C$$

$$解得 \Rightarrow I = \frac{\sec{x}\tan{x} + \ln|\sec{x} + \tan{x}|}{2} + C$$

[小总结]

上一题中，利用"分部积分 + 积分重现"的思想，在不定积分**/**定积分中都非常常见，看下面几道例题。

类题1

$\int\sqrt{1 + x^2}dx$

[方法一]：

先换元，转化为上一题。

$$令x = \tan{t} \Rightarrow I = \int\sqrt{1 + \tan^2{x}}d\tan{x}$$

$$= \ \int\sec{x}\sec^2{x}dx$$

$$= \ \int sec^3{x}dx$$

$$进而转化为上一题$$

[方法二]：

直接淦！

$$I = x\sqrt{1 + x^2} - \int xd(\sqrt{1 + x^2})$$

$$= \ x\sqrt{1 + x^2} - \int x\frac{1}{2}\frac{2x}{\sqrt{1 + x^2}}dx$$

$$= \ x\sqrt{1 + x^2} - \int\frac{x^2 + 1 - 1}{\sqrt{x^2 + 1}}dx$$

$$= \ x\sqrt{1 + x^2} - \int(\sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}})dx$$

$$= \ x\sqrt{1 + x^2} - I + \int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}dx$$

$$= \ x\sqrt{1 + x^2} - I + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$$

$$解得I = \frac{x\sqrt{1 + x^2} + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})}{2} + C$$

类题2 探索题：

$\int\sec{x}dx = \ln|\tan{x} + \sec{x}| + C$和$\int\sec^2{x}dx = \tan{x} + C$是最基本积分公式。

上一题中我们有解决了$\int\sec^3{x}dx$的计算，现在计算$\int\sec^4{x}dx$和$\int\sec^5{x}dx$。并探索出$\int\sec^n{x}dx$的计算方法$(n \in N^*)$

[解]：

记$I_n = \int\sec^n{x}dx$

$ \ $

$ \ $

$$则I_4 = \int\sec^4{x}dx$$

$$= \ \int\sec^2{x}d\tan{x}$$

$$= \ \int(1 + \tan^2{x})d{\tan{x}}$$

$$= \ \tan{x} + \frac{1}{3}\tan^3{x} + C$$

$ \ $

$$则I_5 = \int\sec^5{x}dx$$

$$= \ \int\sec^3{x}d\tan{x}$$

$$= \ \sec^3{x}\tan{x} - \int\tan{x}d{\sec^3{x}}$$

$$= \ \sec^3{x}\tan{x} - \int\tan{x} \ 3\sec^2{x}\sec{x}\tan{x}dx$$

$$= \ \sec^3{x}\tan{x} - 3\int\tan^2{x}sec^3{x}dx$$

$$= \ \sec^3{x}\tan{x} - 3\int(\sec^2{x} - 1)sec^3{x}dx$$

$$= \ \sec^3{x}\tan{x} - 3\int\sec^5{x}dx + 3\int sec^3{x}dx$$

$$= \ \sec^3{x}\tan{x} - 3I + 3\int sec^3{x}dx$$

$$把I解出来，由于\int sec^3{x}dx已经求过了，所以不在继续写下去了hh$$

$ \ $

计算$\int\sec^n{x}dx$

[解]：

$$I_{2n + 2} = \int\sec^{2n}xd\tan{x} = \int(1 + \tan^2{x})^nd\tan{x}$$

$ \ $

$$I_{2n + 1} = \int \sec^{2n + 1}xdx = \int\sec^{2n - 1}xd\tan{x}$$

$$= \sec^{2n - 1}x\tan{x} - \int\tan^2{x}(2n - 1)\sec^{2n - 1}dx$$

$$= \sec^{2n - 1}x\tan{x} - (2n - 1)[I_{2n + 1} - I_{2n - 1}]$$

$$\Longrightarrow I_{2n + 1} = …(递推公式)$$

类题 3

请推导出积分$I_n = \int\tan^n{x}dx(n \ge 2)的递推公式$

[解]：

$$I_n = \int\tan^{n - 2}{x}(\sec^2{x} - 1)dx$$

$$= \ \int\tan^{n - 2}{x}d\tan{x} - I_{n - 2}$$

$$= \ \frac{1}{n - 1}\tan^{n - 1}{x} - I_{n - 2}$$

(3)若$R(-\sin{x}, \cos{x}) = -R(\sin{x}, \cos{x})$

则将$\sin{x}$凑到$d$后面，形成$d\cos{x}$这种情况和上一种情况基本相似.

例7

$\int\frac{1}{\sin{x}\cos^2{x}}dx$

$$I = \int\frac{\sin{x}}{\sin^2{x}cos^2{x}}dx$$

$$= \ -\int\frac{1}{(1 - \cos^2{x})\cos^2{x}}d\cos{x}$$

$$令t = \cos{x} \Rightarrow -(\int\frac{1}{t^2}dt + \int\frac{1}{1 - t^2}dt)$$

$$= \ \frac{1}{t} + \frac{1}{2}\ln|\frac{t + 1}{t - 1}| + C$$

$$= \ \frac{1}{\cos{x}} + \frac{1}{2}\ln|\frac{\cos{x} + 1}{\cos{x} - 1}| + C$$

例8

$\int\frac{5 + 4\cos{x}}{(2 + \cos{x})^2 \sin{x}}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{(5 + 4\cos{x})\sin{x}}{(2 + \cos{x})^2 \sin^2{x}}dx$$

$$= \ -\int\frac{(5 + 4\cos{x})}{(2 + \cos{x})^2\sin^2{x}}d\cos{x}$$

$$令t = \cos{x} \Rightarrow -\int\frac{(5 + 4t)}{(2 + t)^2(1 - t^2)}dt$$

$$做到这里有两种方法$$

$$1.裂项展开$$

$$2.观察法，注意到分子和分母之间的关系$$

$$= \ -\frac{(2 + t)^2 + (1 - t^2)}{(2 + t)^2(1 - t^2)}$$

$$= \ -\int\frac{1}{1 - t^2}dt - \int\frac{1}{(2 + t)^2}dt$$

$$= \ \frac{1}{2}\ln|\frac{t - 1}{t + 1}| + \frac{1}{t + 2} + C$$

(4) 若$R(-\sin{x}, -\cos{x}) = R(\sin{x}, \cos{x})$

则想办法制造出$\sec^2{x}dx$，凑成$d\tan{x}$，再将$\tan{x}$看成整体，令为$t$即可。

我们有时候很喜欢分子分母同时除以$\cos^2{x}$，便分子出现$\sec^2{x}$，就是这个原因。

例9

$\int\frac{1}{1 + \cos^2{x}}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{\sec^2x}{\sec^2{x} + 1}dx$$

$$= \ \int\frac{1}{\sec^{2}{x} + 1}d\tan{x}$$

$$= \ \int\frac{1}{2 + \tan^2{x}}d\tan{x}$$

$$= \ \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan{\frac{tan{x}}{\sqrt{2}}} + C$$

例10

$\int\frac{1}{(3\sin{x} + 2\cos{x})^2}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{\sec^2{x}}{(3\tan{x} + 2)^2}dx$$

$$= \ \int\frac{1}{(3\tan{x} + 2)^2}d{\tan{x}}$$

$$= \ -\frac{1}{3}\frac{1}{3\tan{x} + 2} + C$$

例11

$\int\frac{1}{a^2\sin^2{x} + b^2\cos^2{x}}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{sec^2{x}}{a^2\tan^2{x} + b^2}dx$$

$$= \ \int\frac{1}{a^2\tan^2{x} + b^2}d\tan{x}$$

$$= \ \int\frac{1}{a^2}\frac{1}{\tan^2{x} + (\frac{b}{a})^2}d\tan{x}$$

$$= \ \frac{1}{a^2}\frac{a}{b}\arctan{\frac{a\tan{x}}{b}} + C$$

$$= \ \frac{1}{ab}\arctan{\frac{a\tan{x}}{b}} + C$$

$$做到这里其实没做完，需要讨论a，b是否等于0$$

$$② \ 当a = 0,b \ne 0时，I = \frac{1}{b^2}\int\sec^2{x}dx$$

$$= \ \frac{1}{b^2}\tan{x} + C$$

$$③ \ 当a \ne 0,b = 0时，I = \frac{1}{a^2}\int\csc^2{x}dx$$

$$= \ -\frac{1}{a^2}\cot{x} + C$$

$$(至此，情况讨论完毕)$$

例12

$\int\frac{1}{\sin^4{x}\cos^2{x}}dx$

$$I = \int\frac{sec^2{x}}{\sin^4{x}}dx$$

$$= \ \int\frac{1}{\sin^4{x}}d\tan{x}$$

$$= \ \int\frac{\sec^4{x}}{\tan^4{x}}d\tan{x}$$

$$= \ \int\frac{(1 + \tan^2{x})^2}{\tan^4{x}}d\tan{x}$$

$$= \ \int(\frac{1}{\tan^4{x}} + \frac{2}{\tan^2{x}} + 1)d\tan{x}$$

$$= \ -\frac{1}{3}\frac{1}{\tan^3{x}} - \frac{2}{\tan{x}} + \tan{x} + C$$

[注]

若将上题中的分子分母颠倒，改为$\int\sin^4{x}\cos^2{x}dx$，当然也能凑$d\tan{x}$，但后续操作比较麻烦。若能灵活地使用二倍角公式：$\sin^2{x} = \frac{1 - cos{2x}}{2}$和$\sin{x}\cos{x} = \frac{1}{2}\sin{2x}$，则计算量会小很多

例12-b

求$\int \sin^4{x}\cos^2{x}dx$

[方法一]

$$I = \int\frac{sin^4{x}\cos^2{x}\sec^2{x}}{\sec^2{x}}dx$$

$$= \ \int\frac{\sin^4{x}\cos^2{x}}{\sec^2{x}}d{\tan{x}}$$

$$= \ \frac{sin^4{x}\cos^4{x}}{1}d\tan{x}$$

$$= \ \frac{tan^4{x}}{(1 + \tan^2{x})^4}d\tan{x}$$

$$= \ …(贼难算)$$

[方法二]

$$I = \int\sin^2{x}(\sin{x}\cos{x})^2dx$$

$$ = \ \int\frac{1 - \cos{2x}}{2}\frac{sin^2{2x}}{4}dx$$

$$= \ \frac{1}{8}(\int\sin^2{2x}dx - \int\cos{2x}\sin^2{2x}dx)$$

$$= \ \frac{1}{8}(\int\frac{1 - \cos{2x}}{2}dx + \frac{1}{6}\sin^3{2x})$$

$$= \ \frac{1}{8}(\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\frac{1}{2}\sin{2x} + \frac{1}{6}\sin^3{2x}) + C$$

[思考]

对于$\int\sin^m{x}\cos^n{x}dx$，有无规律总结?

$
\left\{
\begin{matrix}
①：若m，n中至少有一个奇数 \Rightarrow 凑微分 \\
②：若m，n均为偶数 \Rightarrow 二倍角\\
\end{matrix}
\right.
$

例13

$\int\frac{1 + \sin{x} + \cos{x}}{1 + \sin^2{x}}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{1}{1 + \sin^2{x}}dx + \int\frac{\sin{x}}{1 + \sin^2{x}}dx + \int\frac{\cos{x}}{1 + \sin^2{x}}dx$$

$$= \ \int\frac{\sec^2{x}}{\sec^2{x} + \tan^2{x}}dx - \int\frac{1}{1 + 1 - \cos^2{x}}d\cos{x} + \int\frac{1}{1 + \sin^2{x}}d\sin{x}$$

$$= \ \int\frac{1}{\tan^2{x} + 1 + \tan^2{x}}d\tan{x} - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln|\frac{\cos{x} + \sqrt{2}}{\cos{x} - \sqrt{2}}| + \arctan{\sin{x}}$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{1}{\tan^2{x} + \frac{1}{2}}d\tan{x} - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln|\frac{\cos{x} + \sqrt{2}}{\cos{x} - \sqrt{2}}| + \arctan{\sin{x}}$$

$$= \ \frac{1}{2}\sqrt{2}\arctan{\sqrt{2}\tan{x}} - \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln|\frac{\cos{x} + \sqrt{2}}{\cos{x} - \sqrt{2}}| + \arctan{\sin{x}} + C$$

(5) 形如$\int\frac{A\sin{x} + B\cos{x}}{C\sin{x} + D\cos{x}}dx$

对于一切形如$\int\frac{A\sin{x} + B\cos{x}}{C\sin{x} + D\cos{x}}dx$的积分，我们可以设"分子 = p * 分母 + q(分母)$\prime$"

然后利用系数相等的原则，求出$p$和$q$，则此时的积分结果一定为：

$$I = \int\frac{A\sin{x} + B\cos{x}}{C\sin{x} + D\cos{x}}dx = px + q\ln|分母| + C(任意常数)$$

例14

$\int\frac{3\sin{x} + 4\cos{x}}{2\sin{x} + \cos{x}}dx$

[解]：

$$假设3\sin{x} + 4\cos{x} = p(2\sin{x} + \cos{x}) + q(2\cos{x} - \sin{x})$$

$$= \ (2p - q)\sin{x} + (p + 2q)\cos{x}$$

$
\left\{
\begin{matrix}
2p - 1 = & 3 \\
p + 2q = & 4 \\
\end{matrix}
\right.
$

$$解得p = 2，q = 1$$

$$I = \int\frac{2(2\sin{x} + \cos{x}) + (2\cos{x} - \sin{x})}{2\sin{x} + \cos{x}}dx$$

$$= \ 2x + ln|(2\sin{x} + \cos{x})| + C$$

(6) 出现不同角度的三角函数

当被积函数中，出现不同角度的三角函数时，先想办法同一角度

例15

$\int\frac{1}{2\sin{x} + \sin{2x}}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{1}{2\sin{x} + 2\sin{x}\cos{x}}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin{x}(1 + \cos{x})}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin{x}(2\cos^2{\frac{x}{2}})}dx$$

$$= \ \frac{1}{8}\int\frac{1}{\sin{\frac{x}{2}}\cos^3{\frac{x}{2}}}dx$$

$$= \ \frac{1}{4}\int\frac{\sec^2{\frac{x}{2}}}{\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}d\frac{x}{2}$$

$$= \ \frac{1}{4}\int\frac{1}{\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}d\tan{\frac{x}{2}}$$

$$= \ \frac{1}{4}\int\frac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}d\tan{\frac{x}{2}}$$

$$= \ \frac{1}{4}\int(\tan{\frac{x}{2}} + \frac{1}{\tan{\frac{x}{2}}})d\tan{\frac{x}{2}}$$

$$= \ \frac{1}{4}(\frac{1}{2}\tan^2{\frac{x}{2}} + \ln|\tan{x}|) + C$$

例16

$\int\frac{\cos{2x} - \sin{2x}}{\sin{x} + \cos{x}}dx$

[解]：

$$I = \int\frac{\cos^2{x} - \sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x}}{\sin{x} + \cos{x}}dx$$

$$= \ \int\frac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{\sin{x} + \cos{x}}dx - \int\frac{2\sin{x}\cos{x}}{\sin{x} + \cos{x}}dx$$

$
\left\{
\begin{matrix}
(\sin{x} + \cos{x})^2 = & 1 + 2\sin{x}\cos{x} \\
(\sin{x} - \cos{x})^2 = & 1 - 2\sin{x}\cos{x} \\
\end{matrix}
\right.
$

$$= \ \int(\cos{x} - \sin{x})dx - \int\frac{(\sin{x} + \cos{x})^2 - 1}{\sin{x} + \cos{x}}$$

$$= \ sin{x} + \cos{x} -[\int(\sin{x} + \cos{x})dx - \int\frac{1}{\sin{x} + \cos{x}}dx]$$

$$= \ 2\cos{x} - \int\frac{1}{\sin{x} + \cos{x}}dx（类题2）$$

$$略…$$

(7) 形如$\int\sin{ax} \sin{bx} \ dx(a \ne b)$

利用积化和差公式，一步爆杀！！！

例17

$\int\sin{2x}\sin{3x}dx$

分析：想办法凑出$\sin{2x}\sin{3x}$

[解]：

$$I = -\frac{1}{2}\int[\cos{(2x + 3x)} - \cos{(2x - 3x)}]dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\int{[\cos{x} - \cos{5x}]}dx$$

$$= \ \frac{1}{2}\sin{x} - \frac{1}{10}\sin{5x} + C$$