不定积分-换元法-分部积分
换元法
换元法最重要的作用就是"打开局面"。在做积分题时，只需我们选择恰当的换元，就可以将复杂的积分变得非常简洁，尤其是在处理有根式的积分时，常常会使用换元法。
(1) 整体换元
被积函数中出现"$\sqrt{一次函数}，\sqrt{\frac{一次函数}{一次函数}}，\sqrt{e^{ax} + b}，\frac{e^{ax} + b}{e^{ax} - b}$"可以直接将整个根号令为$t$，达到去掉根号的效果！
(当然，该方法虽然一定可行，但不一定是最快的方法，所以也需要具体问题具体分析)
例1
$\int\sqrt{\frac{x}{1 + x}}dx$
[解]：
$$令\sqrt{\frac{x}{1 + x}} = t \Rightarrow I = \int td\frac{1}{1 - t^2}$$
$$分部积分 \Rightarrow \frac{t}{1 - t^2} - \int\frac{1}{1 - t^2}dt$$
$$= \ \frac{t}{1 - t^2} + \int\frac{1}{t^2 - 1}dt$$
$$= \ \frac{t}{1 - t^2} + \frac{1}{2}\ln|\frac{t - 1}{t + 1}| + C$$
$$= \ \frac{\sqrt{\frac{x}{1 + x}}}{1 - (\sqrt{\frac{x}{1 + x}})^2} + \frac{1}{2}\ln|\frac{\sqrt{\frac{x}{1 + x}} - 1}{\sqrt{\frac{x}{1 + x}} + 1}| + C$$
[注]：
本题换元法后，最好不需将dx解出来，而应直接分部积分！否则被积函数次数太高，不好做！
类题1
$\int\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x + 1}{x}}dx$
[解]：
$$令\sqrt{\frac{x + 1}{x}} = t \Rightarrow I \ \int(t^2 - 1)td\frac{1}{t^2 - 1}$$
$$分部 \Rightarrow t - \int\frac{1}{t^2 - 1}d(t^3 - t)$$
$$= \ t - \int\frac{3t^2 - 1}{t^2 - 1}dt$$
$$= \ t - \int\frac{3t^2 - 3 + 2}{t^2 - 1}dt$$
$$= \ t - 3t - 2\frac{1}{t^2 - 1}dt$$
$$= \ -2t -\ln|\frac{t - 1}{t + 1}| + C$$
类题2
$①：\int\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}dx$
可以换元，但是没必要
[解]：
$$I = \int{\frac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}}}dx(分子有理化)$$
$$= \ \int\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx - \int\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}dx$$
$$= \ \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + C$$
$②： \int{(\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} + \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})}dx$
[解]：
$$I = \int(\frac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{1 + x}{\sqrt{1 - x^2}})dx$$
$$= \ 2\int\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx$$
$$= \ 2\arcsin{x} = C$$
**[注]：**换元法当然可行，但需要思考更快的解法。
类题3
$\int\frac{xe^x}{\sqrt{e^x - 2}}dx$
[解]：
$$令t = \sqrt{e^x - 2} \Rightarrow x = \ln{(2 + t^2)}， dx = d\ln{(2 + t^2)}(先别解出dt，看后面是否需要再说)$$
$$I = \int\frac{\ln{(2 + t^2)(2 + t^2)}}{t}d\ln{(2 + t^2)}$$
$$(通过观察，如果直接分部积分，次数就太大了，因此需要化简)$$
$$= \ \int\frac{\ln{(2 + t^2)(2 + t^2)}}{t}\frac{2t}{2 + t^2}dt$$
$$= \ 2\int\ln{(2 + t^2)}dt$$
$$分部积分 \Rightarrow 2t\ln{(2 + t^2)} - 2\int t\frac{2t}{2 + t^2}dt$$
$$= \ 2t\ln(2 + t^2) - 4\int\frac{t^2 + 2 - 2}{2 + t^2}dt$$
$$= \ 2t\ln(2 + t^2) - 4t + 8\frac{1}{2 + t^2}dt$$
$$= \ 2t\ln(2 + t^2) - 4t + \frac{8}{\sqrt{2}}\arctan{\frac{t}{\sqrt{2}}} + C$$
$$= \ 2t\ln(2 + t^2) - 4t + 4\sqrt{2}\arctan{\frac{t}{\sqrt{2}}} + C$$
类题4
$\int\frac{1}{\sqrt[3]{(x + 1)^2(x - 1)^4}}dx$
[解]：
$$I = \int\frac{1}{(x - 1)(x + 1)\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}}}dx$$
$$= \ \int\frac{1}{(x^2 - 1)\sqrt[3]{\frac{x - 1}{x + 1}}}dx$$
$$令\frac{x - 1}{x + 1} = t^3 \Rightarrow x = \frac{2}{1 - t^3} - 1，dx = $$
$$= \ \int\frac{1}{([(\frac{2}{1 - t^2} - 1)^2 - 1]t}d (寄！！！不会了)$$
例2
$\int\frac{1}{(1 + \sqrt[3]{x})\sqrt{x}}dx$
[解]：为了消去$\sqrt[3]{x}$和$\sqrt{x}$中的根号，则很明显需要令$x = t^6$。这说明我们在换元的时候，不需要拘泥于套路。而应该具体问题具体分析。总之记住一点——换元的目的就是为了化简被积函数，从而打开局面
$$令x = t^6，dx = 6t^5 \Rightarrow I = \int\frac{6t^5}{(1 + t^2)t^3}dt$$
$$= \ 6\int\frac{t^2 + 1 - 1}{1 + t^2}dt$$
$$= \ 6t - 6\arctan{t}$$
$$= \ 6x^{\frac{1}{6}} - 6\arctan{x^{\frac{1}{6}}}$$
类题
$\int\frac{1}{1 + e^{\frac{x}{2}} + e^{\frac{x}{3}} + e^{\frac{x}{6}}}dx$
[提示]：$e^{\frac{x}{2}} = \sqrt{e^x}，e^{\frac{x}{3}} = \sqrt[3]{x}，e^{\frac{x}{6}} = \sqrt[6]{x}$
$$令e^{\frac{x}{6}} = t \Rightarrow x = 6 \ln{t}，dx = \frac{6}{t}dt$$
$$I = \frac{1}{1 + t^3 + t^2 + t}\frac{6}{t}dt$$
$$= \ 6\frac{1}{t(t + 1)(t^2 + 1)}dt$$
$$= \ 6(\frac{A}{t} + \frac{B}{t + 1} + \frac{2C + D}{t^2 + 1})dt$$
$$= \ 6(\frac{A(t + 1)(t^2 + 1) + Bt(t^2 + 1) + (2C + D)t(t + 1)}{t(t + 1)(t^2 + 1)})dt$$
$$= \ 6(\frac{At^3 + At + At^2 + A + Bt^3 + Bt + 2Ct^2 + 2Ct + Dt^2 + D}{t(t + 1)(t^2 + 1)})dt$$
$$= \ 6(\frac{(A + B)t^3 + (A + 2C + D)t^2 + (A + B + 2C)t + A}{t(t + 1)(t^2 + 1)})dt$$
待定系数法得
$
\left\{
\begin{matrix}
A + B = & 0 \\
A + 2C + D = & 0 \\
A + B + 2C = & 0 \\
A = & 1 \\
\end{matrix}
\right.
$
$$解得：$$
$
\left\{
\begin{matrix}
A = & 1 \\
B = & -1 \\
C = & 0 \\
D = & -1 \\
\end{matrix}
\right.
$
$$I = \ 6(\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{t^2 + 1})dt$$
$$= \ 6[\ln{t} - \ln{(t + 1)} - \arctan{t}] + C$$
$$= \ 6[\ln{e^{\frac{x}{6}}} - \ln{(e^{\frac{x}{6}} + 1)} + \arctan{e^{\frac{x}{6}}}] + C$$
(2) 三角换元
若被积函数中出现了"$\sqrt{二次函数}$"，则一般采用三角换元，具体可细分为以下几种：
1) 若根号内没有一次项，只有平方项和常数项，则直接换元
- $\sqrt{a^2 - x^2} \Rightarrow 令x = a\sin{t}$
- $\sqrt{a^2 + x^2} \Rightarrow 令x = a\tan{x}$
- $\sqrt{x^2 - a^2} \Rightarrow 令x = a\sec{x}$
[注]：不一定非要出现根号才能三角换元，如$\int\frac{1}{(1 + x^2)^2}dx$，则可用$x = \tan{x}$，再用二倍角处理！
2) 若根号内含有一次函数，则需先对根号内的二次函数配方，消去一次项后，便转化为了上面的情况，然后换元即可！
